Aufgrund einer Verletzung der linken Hand (ca. 1905) musste er das Geigenspiel mit der rechten Hand erlernen. 1906–12 studierte er Violine an der Wiener MAkad. (bei J. Egghard d. J.) und Musiktheorie am Konservatorium der GdM (bei H. Grädener). Ab 1913 vervollkommnete er sein Violinspiel bei O. Ševčík. Daneben studierte er Theorie und Komposition bei F. Schreker und besuchte an der Univ. Vorlesungen bei G. Adler. 1919–21 war er Kompositionsschüler von A. Schönberg und Mitglied in dessen Verein für musikalische Privataufführungen. Schönberg heiratete 1924 K.s Schwester Gertrud (* 11.7.1898 Karlsbad [Karlovy Vary/CZ], 14.2.1967 Los Angeles, CA/USA). 1922 gründete K. das K.-Quartett (bis 1931 Wiener Streichquartett), das durch eine Tournee 1927–39 auch internationale Berühmtheit erlangte und bedeutende Werke wie Schönbergs 3. und 4. Streichquartett, A. Weberns Streichtrio und Streichquartett, A. Bergs Lyrische Suite und Béla Bartóks 6. Streichquartett uraufführte. Nach der Auflösung seines Quartetts emigrierte K. 1940 von Paris aus in die USA (Exil). Dort gründete er 1942 das Pro Arte Quartet. An der University of Wisconsin/USA erhielt er eine Professur für Violine und Kammermusik (1944–67). Ab 1967 wirkte er am New England Conservatory of Music in Boston/USA. Ab 1953 nahm er auch an den Ferienkursen für Neue Musik in Darmstadt/D und in Donaueschingen/D teil. In seinen letzten Lebensjahren (1974–78) gab er Sommerkurse (Kammermusik) im Schönberg-Haus in Mödling. K., der eine Stradivari spielte, zählte zu den authentischen Interpreten der Musik der Wiener Schule; er entwickelte in seinen Schriften die Theorie des sog. Wiener Espressivo (Ausdruck). Dem Zweck, den musikalischen Zusammenhang lebendig wiederzugeben, diente K.s Anspruch, aus der Partitur oder überhaupt auswendig zu spielen.