Der Sohn des Dirigenten Nikolaj Pawlowitsch Anossow (1900–62) und der Sängerin Natalja Petrowna Roshdestwenskaja (* 1900) studierte am Moskauer Konservatorium Klavier und Dirigieren (bei seinem Vater). Debüt 1951 am Bolschoi-Theater und in der Folge dort Assistent. 1961–74 Chefdirigent des sowjetischen Rundfunk-Symphonieorchesters; lehrte ab 1963 auch am Moskauer Konservatorium und war weiters 1965–70 Chefdirigent am Bolschoi-Theater. Ab 1972 musikalischer Leiter der Moskauer Kammeroper, 1974–77 des Stockholmer Philharmonischen Orchesters, 1977/78 des Cleveland Symphony Orchestra; 1978–81 Chefdirigent des BBC Symphony Orchestra in London, 1981–83 der Wiener Symphoniker sowie Lehrer am Konservatorium; 1982 Leiter des neu gegründeten Symphonie-Orchesters des Moskauer Kultusministeriums. Ab 1987 unterrichtete er Orchesterleitung in Siena/I; ab 1991 wiederum Leiter der Stockholmer Philharmoniker; 2000/01 auch wieder künstlerischer Direktor am Bolschoi-Theater. R. dirigierte zahlreiche UA.en v. a. sowjetischer Komponisten und tritt als Gastdirigent in Europa und den USA auf. Er war seit 1969 mit der Pianistin Viktoria Postnikowa (* 12.1.1944 Moskau) verheiratet.